1. el triangulo es inteligente (no es proposicion por que es una falsa proposicion)
2. eduardo es un numero racional
3. x+3= 5 (no es proposicion)
4. filosofal.......... es el extraordinario preguntar por lo extraordinario (no es una proposicion por que es una filosofal)
en conclusion, para que una expresion linguistica sea una proposicion debe ser oracion. ademas debe ser aceverativa y debe ser o bien verdadera o bien falsa.
CLASES DE PROPOSICIONES
ATOMICAS: son las oraciones simples o elementales, carecen de conjunciones gramaticales tipicas o colectivas (y, o, si, entoncs, si y solo si) o del adverbio de negacion no. estas oraciones se dividen en predicativas y racionales.
-PREDICATIVAS: son las oraciones que constan de sujeto y predicado. un ejemplo es: el nùmero dos es par.
-RACIONALES: constan de dos o mas sujetos. un ejempo es: Silvia es hermana de Angelica.
MOLECULARES: contienen alguna conjuncion gramatical o conectiva o el adverbio negativo no. estas se dividen en conjunciones, disyunciones, condicionales, bicondicionales y negativas.
CONJNTIVAS: llevn la conjuncion copulativa "y" o sus expresiones equivalentes e, pero, aunque, aùn cuando, tanto, como, si no, ni, sin embargo, ademas, etc..
DISYUNTIVAS: llevan la conjuncion disyuntiva "o" o sus equivalentes como u, ya, bien, hora, sea, etc.. Esta se divide en disyuncion exclusiva y exclusiva.
la disyuncion inclusiva (debil) admite que las dos alternativas pueden ser verdaderas.
la disyuncion exclusiva (fuerte) no admite quelas dos alternativas sean verdaderas o se den conjuntamente.
CONDICIONALES: llevan la conjuncion condicional compuestas si, entonces,o sus expresiones eqivalentes como si, siempre que, con tal que, puesto que, ya que, por que, cuando, de, a menos que, a no ser que, salvo que, solamente si, solo si, etc..
BICONDICIONAL: llevan la conjncion compuesta si y solo si, o sus expresiones equivalentes como cuando y solo cuando, entonces y solo entonces, si..., etc..
NEGATIVAS: las proposiciones negativas llevan el adverbio de negacion no en sus expresiones o sus equivalentes como nunca, jamas, tampoco, no es verdad, que no es cierto que, es falso, le falta, carece de, sin, etc..
ya sabiendo lo que significa el lenguaje y las proposiciones podemos pasar al siguiente paso, el cual es el lenguaje formalizado de la logica proposicional.
LENGUAJE FORMALIZADO DE LA LOGICA PROPOSICIONAL
VARIABLE PROPOSICIONAL: representa cualquier proposicion atomica, son letras minusculas de alfabetos como la p, q, r, s, t, ....
OPERADORES LOGICOS: se utiliza para enlazar o conectar proposiciones y establecer determinadas operaciones entre ellas. conjuncion (.) , disyuncion inclusiva (v), exclusiva(< >)condicional (->), bicondicional (<->)(todos los anteriores son operadores diadicos), la negacion (~o ¬) la negacion conjunta () y la negacion alterna () (estas dos son operadores monadicos).
-CARACTERISTICAS DE LOS SISTEMAS: los operadores se escriben entre las variables que enlaza, pero la negacion va delante, los operadores son signos especiales y se usan puntos auxiliares o signos de puntuacion para determinar la jerarquia entre los operadores.
-FORMULA LOGICA: es una cadena de simbolos construida segùn reglas establecidas por la sintaxis lògica. puede ser de 2 tipos atomica (se representa unicamente por una variable proposicional) y molecular (contiene entre sus simboos por lo menos un operador).
REGLAS
1. toda variable proposicional, es una formula bien formada (FBF)
2. si p es una FBF, ~p es una FBF.
3. si p y q sin FBF, entonces p.q, pvq, p<>q, p->q, pq, p<->q, p{q son FBF.
4. una cadena de formulas estan bien formadas si y solo si se sigue las aplicaciones 1, 2 y 3
5. una formula logica esta bien formada si y solo si existe una jerarquia claramente establecida entre sus operadores. en caso contrario, la formula carece de sentido
6. una FBF tiene un nombre, este depende de su operador de mayor jerarquia.
7. el operador de mayor jerarquia, es aquel que esta libre de los signos de agrupacion {}, (), etc..
8. los signos de agrupacion se usas solo cuando su omision hace ambigua una formula.
9. los operadores diadicos tiene mayor jerarquia que los operadores monadicos.
10. el operador negativo se escribe antes y no despues de una formula.
11. el operador negativo no se escribe entre dos formulas
FORMALIZACION DE PROPOSICIONES
los pasos para poder formailzar las proposiciones son las siguientes:
- se explicita su forma logica empleando las conjunciones y, o, entonces, si...., si y solo si, y el adverbio no en sustitucion de sus expresiones equivalentes.
- se halla su formula reemplazando cada proposicion atomica por una variable proposicional, las conjunciones gramaticales por sus gramaticales logicos correspondientes y el adverbio no por el operador negativo.
- los signos de agrupacion se usan para establecer la jerarquia entre los operadores de una formula logica pero solo cuando su omision es ambigua.
un ejemplo para esto puede ser el siguiente:
kant es filosofo pero Frege es filosofo
FORMULA LOGICA
kant es filosofo y Frege es filosofo
P= Kant es filosofo
q= Frege es filosofo
FORMALIZACION DE INFERENCIAS
una inferencia (razonamiento ,deduccion ,argumentacion o argumento) es una operacion logica que conciste en derivar a partir de la verdad de otra proposicion conocida como conclucion.
Las premisas de una inferencia son proposiciones que ofrecen las razones para aceptar la conclucion.la conclucion de una inferencia es la proposicion que se afirma sobre la base de las premisas. preceder a la conclucion las palabras luego, por tanto, por consguiente, en concecuencia, e.t.c.
EJEMPLO
los postulados son proposiciones primitivas de la matematica luego, los postulados son proposiciones primitivas de la matematica o de la logica.
Ningun metaloide es metal, puesto que todos los metales son cuerpos brillantes y ningun metaloide es cuerpo brillante. (desordenadas dos premisas una conclusion)
Si esta figura tiene 4 lados, es un cuadrilatero. si esta figura tiene tres lados, es un trilatero. esta figura tiene cuatro lados o tres lados. por tanto, esta figura es un cuadrilatero o es un trilatero. (tres premisas una conclusion).
PASOS PARA FORMALIZAR INFERENCIAS
- se ordena la inferencia, pero solo en el caso de que su forma logica haya sido alterada en el lenguaje natural. conservando el esquema premisas-conclusion.
- se explicita su estructura logica. simultaneamente se disponen la premisas y la conclusion una debajo de la otra. entre la ultima premisa y la conclusion se traza una linea horizontaly se escribe debajo de la barra la palabra luego, en consecuencia, o por tanto, hasta la conclusion.
- se hala su FL la palabra luego se sustituye por el simbolo ... en forma de triangulo.
- se construye una formula condicional que tenga como antecedentes las premisas unidas con el operador conjuntivo y como consecuente la conclusion. de ta forma que la estructura logica de cualquier inferencia quede representada esquematicamente de la siguiente manera como { premisa 1} . {premisa 2} . {premisa n} . ->{conclusion}
premisa 1 - p
premisa 2 - q
premisa 3 - r
______________
luego (conclusion)
TABLA DE VERDAD
CONJUNTIVA p y q es verdadera si y solo si p es verdadera y q es verdadera. en los demas casos la formula es falsa.
DISYUNTIVA INCLUSIVA p o q es falsa si y solo si p es falsa y q tambien es falsa en los demas casos es verdadera
DISYUNTIVA EXCLUSIVA p o q es verdadera si y solo si las variables p o q no tienen el mismo valor. en los demas casos es falsa
CONDICIONAL p->q es falsa si p es verdadera y q es falsa. en los demas casos es verdadera
BICONDICIONAL p<->q es verdadera si y solo si las variables p y q tiene el mismo valor de verdad
NEGACION ALTERNA pq es falsa si y solo si p es verdadera y q es verdadera, en los demas casos es verdadera
NEGACION CONJUNTA p{q es verdadera si y solo si p es verdadera y q es falsa. en los demas casos es falso.
IMPLICACION Y EQUIVALENCIA DE FORMULAS
una formula a imlica a b si y solo si unidas en forma condicional a como antecedente y b como consecuente su matriz resulta autologica.
IMPLICACION DE FORMULAS
A-> B A implica a B
A -> B A implica a B
EJEMPLO:
el bicondicional de la negacion de A y la disyuncion de C y D implica a la negacion de la disyuncion de B y la negacion de A.
{~A<->(CvD) -> ~(Bv~A) (aqui se tiene que realizar la tabla de verdad)
EQUIVALENCIA DE FORMULAS
las formulas A y B son equivalentes si y solo si sus matrices son iguales
EQUIVALENCIAS, FORMULAS
A=B A equivalente a B
A=\B A no equivalente a B
EJEMPLO
la negacion de la negacion alterna de las negaciones de A y D es equivalente a la condicional de B y la negacion de C
~(~C.~D)= [(A->B){CvD)] (aqui se hace de nuevo la tabla de la verdad para ver si es tautologica o no y por ende saber si es equivalente o no)
ANALISIS DE INFERENCIAS
es valida por medio de la tabla de verdad si y solo si al ser formalizada y evaluada su forma condicional es una tautologica.
METODO ABREVIADO
- se supone verdadero si el antecedente y falso el consecuete
- se determinan los valores, las variables del consecuente de manera que expresen la falcedad de esta
- se traslada estos valores al antecedente y se designan os valores de las demas variables tratando de hacer verdadero el antecedente
- si se verifica la hipotesis, la formula es no tautologica, en consecuencia la inferencia correspondiente sera invalida, si no se verifica la hipotesisla formula sera tautologica, en consecuendia la inferencia correspondiente sera valida.
PRINCIPALES REGLAS Y LEYES LOGICAS
las leyes logicas son tautologicas, o formas logicamente verdaderas. son formulas verdaderas independiente de los valores que asumen sus vaiables proposicionales componentes.
la regla logica son las prescripciones que nos permiten pasar correctamente de una o mas premisas a una conclusion.
modus ponens (MP) a partir de una formula condicional y de su antecedente se obtiene su consecuente.
- A->B
- A [(P->Q) . P] ->Q
(... en triangulo) B
modus tollens (MT) a partir de una formula condicional y de la negacion de su consecuente se obtiene la negacion del antecedente.
- A->B
- ~B [(P->Q) . ~Q] -> ~P
(... en triangulo) ~A
silogismo hipotetico(SH) a partir de dos formulas condicionales donde el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda, se obtiene una condicional formada por el antecedente de laprimera y el consecuente de la segunda
- A->B
- B->C [(P->Q) . (Q->R)] -> (P->R)
(... en triangulo) A->C
silogismo disyuntivo (SD) a partir de una formula disyuntiva y de la negacion de una de sus componentes se obtiene la otra componente.
- AvB AvB [ (PvQ) . ~P]-> Q
- ~A ~B [(PvQ) . ~Q]-> P
(... en triangulo) B (... en triangulo) A
dilema constructivo (DC) a partir de dos formlas condicionales y de la disyuncion de sus antecedentes se obtiene la disyuncion de su consecuente.
- A->B [((P->Q) . (R->S) . (P->Q)] -> (QvS)
- C->D
- AvC
(... en triangulo) BvD
dilema destructivo (DD) a partir de dos formulas condicionales y de la disyuncion de las negaciones de sus consecuentes, se obtiene la disyuncion de las negaciones de sus antecedentes.
- A->B [(P->Q) . (R->S) . (~Qv~S)]-> (~Pv~R)
- C->D
- ~Bv~D
(... en triangulo) ~Av~C
simplificacion (SIMPL) a partir de la conjuncion de dos formulas se obtine una de ellas.
- A . B A . B [(P . Q)]-> P
(... en triangulo) A (... en triangulo) B [(P . Q)]-> Q
conjuncion (CONJ) a partir de dos formulas se obtiene la conjuncion de las mismas.
- A
- B
(... en triangulo) A . B
adicion (AD) a partir de una formula se obtiene la disyuncion de su formula con cualquier otra.
- A
(... en triangulo) AvB
METODOS DE DEDUCCION NATURAL
- se simboliza las premisas y la conclusion disponiendo aquellas en forma vertical y escribiendo la conclusion a continuacion de la ultima premisa y la conclusion se escribe una barra separatoria seguida por tres puntos que formen un triangulo que significa luego o por lo tanto.
- se procede a ejecutar las derivaciones tomando como punto de partida cualquiera de las premisas siempre que sea factible e indicando a la derecha en forma abreviada de que premisas y mediante que ley o eqivalencia se ha obtenido la nueva expresion.
PRUEBA DIRECTA
- P->Q 5. P->R (SH 1-2)
- Q->R 6. ~P (MT 3-5)
- ~r 7. s (SD 4-6)
- PvS\(... en triangulo) S
PRUEBA CONDICIONAL
- S->R 5. ~Q 9. T (MP 4-8)
- SvP 6. ~P(MP 3-5)
- P->Q 7. S (SD 2-6)
- R->T\(... en triangulo) ~Q->T 8. R(MP 1-7)
REDUCCION AL ABSURDO
se niega la conclusion y se incluyen las premisas. se hace el proceso de derivacion hasta llegar a una contradiccion A . ~A
- ~(P . Q) 5. P (MP 3-4)
- ~R->Q 6. Q (MP 2-4)
- ~P->R\(... en triangulo) R 7. P . Q (CONJ 5-6)
- ~R 8. ~(P . Q) . (P . Q) (CONJ 1-7)
FORMAS NORMALES
son aquellas formulas constituidas unicamente por conjunciones, disyunciones, y negaciones que solo afectan a variables. las formas normales son formulas moleculares compuestas por conjunciones o disyunciones basicas cuyos elementos son variables negadas o sin negar.
la forma normal conjuntiva esta constituida por disyunciones basicas o por conjunciones de disyunciones basicas
la forma nomal disyuntiva esta ocnstituida por conjunciones basicas o por disyunciones de conjunciones basicas.
REGLAS PARA REALIZAR LA SOLUCION
- Se eliminan todos los operadores diadicos que no sean conjunciones y disyunciones mediante la aplicacion de sus respectivas definiciones.
- se elimina las negaciones que afectan a operadores mediante las leyes de morgan
- se aplican las leyes de distribucion absorcion y tautologia cuando sean necesarias
- se aplica el siguiente criterio: la forma normal conjuntiva es de autologia si todas y cada una de sus disyunciones basicas contienen la tautologia de tercio excluido.
FORMULA PROPOSICIONAL COMPUESTA
se aplica el siguiente criterio: la forma normal disyuntiva si y solo si todas y cada una de las condiciones basicas contienen una contradiccion
si tenemos claro toda esta informacion la podremos utilizar para nuestra vida cotidiana, ps si entendemos lo que nos dicen no tendremos problemas en comunicarnos con los demas y asi tendremos una exelente comunicacion con las demas personas.
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